La fonction logarithme décimal

Introduction

Représentation graphique de la fonction $x \mapsto 10^{x}$ défine sur $ℝ$

Pour tout réel strictement positif $b$ , l'équation $10^{x} = b$ admet une unique solution, celle-ci est noté $\log (b)$ , et est appelée logarithme décimal de $b$ .

(cliquer sur l'étoile pour changer la valeur de $b$ .)

1. Définition de la fonction logarithme décimal

Définition : D'après ce qui précède, on peut définir une nouvelle fonction, appelée logarithme décimal, qui à tout réel strictement positif

b

, associe l'unique solution de l'équation

10^{x} = b

, notée

\log (b)

.
Cette fonction est donc définie sur ] 0;+

[ .

Propriété

$10^{x} = b \Leftrightarrow x = \log (b)$
Pour tout réel $b$ strictement positif, $10^{\log (b)} = b$ .
$\log (10) = 1$ et $\log (1) = 0$ .

Essais sur quelques valeurs, (cliquer sur l'étoile pour changer les données)
À l'aide de la calculatrice, vérifiez que vous trouvez bien les résultats ci-dessous:
log(50)=1.69897
log(2.7)=0.43136376
log(0.5)= -0.30103

2. Propriétés algébriques

Propriété

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ ,et pour tout entier naturel $n$ , on a :

$\log (a \times b) = \log (a) + \log (b)$
$\log (\frac{1}{b}) = - \log (b)$
$\log (\frac{a}{b}) = \log (a) - \log (b)$
$\log (a^{n}) = n \times \log (a)$
Cette dernière formule reste valable pour tout réel $x$ , $\log (a^{x}) = x \times \log (a)$

Exemples
(cliquer sur l'étoile pour changer les données) :

\log (10 \times 3) = \log (10) + \log (3)

\log (\frac{1}{23}) = - \log (23)

\log (\frac{16}{10}) = \log (16) - \log (10)

\log (23^{16}) = 16 \times \log (23)

Pour

x > 0

y > 0

\log (x^{3} \times y^{10}) = \log (x^{3}) + \log (y^{10}) = 3 \times \log (x) + 10 \times \log (y)

3. Variations ,représentation graphique et signe.

Sens de variation

Théorème : la fonction logarithme décimal est strictement croissante sur ]0;+

Représentation graphique de la fonction x log(x) pour tout réel $x > 0$

Signe de $\log (x)$ pour $x > 0$

Théorème
Comme la fonction logarithme décimal est strictement croissante sur ]0;+

[ et que

\log (1) = 0

, on en déduite que:

\log (x) < 0

pour tout réel x

]0;1[ et que

\log (x) > 0

pour tout x

]1;+

[ .

introduction de la fonction logarithme décimal en terminale technologique.
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Description: introduction de la fonction logarithme décimal en terminale technologique. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, analysis,, functions, exponential