DOC Résumé sur la loi binomiale

Loi binomiale

Utilisations de la loi binomiale

On utilise principalement la loi binomiale dans la situation suivante :
on a une répétition de n épreuves indépendantes pour lesquelles on a défini deux issues possibles (l'une appelée "Succès" et l'autre "Echec").
Une telle épreuve est appelée "épreuve de Bernoulli".
On note p la probabilité de succès à chaque épreuve.
Si la variable aléatoire X associe, à chaque répétition de n épreuves, le nombre de succès au cours de ces n épreuves, alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Cette loi est notée ℬ (n;p).

Exemple :
On tire au hasard une pièce dans la production d'une machine. La probabilité qu'elle soit défectueuse est 0.03 .
On appelle X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 5 pièces prélevées avec remise, associe le nombre de pièces acceptables dans cet échantillon.
Quelle est la loi de la variable aléatoire X ?
Le tirage d'un échantillon de 5 pièces avec remise correspond à une succession de 5 tirages indépendants d'une pièce.
Chaque tirage d'une pièce est une "épreuve".
X correspond au nombre de pièces acceptables. On appelle donc "succès" le fait qu'une pièce soit acceptable.
La probabilité de succès est donc à chaque épreuve. X est alors le nombre de succès au cours de 5 épreuves indépendantes.
Donc X suit la loi binomiale ℬ(5;).

Exercice

Calcul d'une probabilité

Si X suit la loi binomiale ℬ (n;p), alors :
ou (autre notation) : p(X=k)=C n k×p k×(1−p) n−k.

Exemple :

Status: 550 WIMS Module Error Server: WIMS 4.27a (WWW Interactive Multipurpose Server) Content-type: text/plain; charset=windows-1252 ERROR. wims has detected an error in the module 'U1/proba/docloibinom.fr'. In file 'doc/1/exp2.def', line 59: too_many_gotos. Le nombre de goto (ou de boucles `for' executées) a dépassé la limite. Si vous voyez ce message, c'est en général à cause d'un bug dans le module `U1/proba/docloibinom.fr'. Veuillez contacter le développeur du module pour le bug.