OEF Applications linéaires
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 24 exercices sur les applications linéaires.
Il comporte deux QCM présentés chacun en deux versions :
- Dans les QCM I, vous pouvez choisir le nombre de questions proposées.
Dès qu'une réponse est fausse, l'exercice est terminé.
- Les QCM II proposent trois questions. Après chacune réponse,
la bonne réponse est affichée. L'exercice est terminé après les trois questions.
Les deux versions utilisent la même liste de questions et chaque question
peut exister en plusieurs versions. Pour cette raison, ils peuvent être
renouvelés plusieurs fois.
Image et noyau
Cet exercice comporte trois étapes.
Soient
une base de
et
l'endomorphisme de
dont la matrice dans la base
est
.
1. Donnez le rang de
.
2. Le rang de
est . Donnez une base de l'image de
.
3. Donnez une base du noyau de
.
Entrez les composantes des vecteurs d'une base en colonnes séparées par des virgules.
Base de l'image
Soient
une base de
et
l'endomorphisme de
dont la matrice dans la base
est
Donnez une base de l'image de
.
Entrez les composantes des vecteurs de la base de l'image en colonnes séparées par des virgules.
Base du noyau
Soient
une base de
et
l'endomorphisme de
dont la matrice dans la base
est
Donnez une base du noyau de
.
Entrez les composantes des vecteurs de la base du noyau en colonnes séparées par des virgules.
Décomposition sur des supplémentaires
Soient
une base de
. Les composantes d'un vecteur dans cette base sont notées
. On considère le plan
d'équation
et la droite
engendrée par le vecteur
.
Décomposez le vecteur
comme somme d'un vecteur
de
et d'un vecteur
de
.
Entrez les composantes de
et
dans la base
.
Décomposition sur des supplémentaires (bis)
Dans
, on considère les sous-espaces vectoriels
Vect
et
Vect
.
Vérifier que
et
sont supplémentaires et décomposer le vecteur
comme somme d'un vecteur
de
et d'un vecteur
de
.
Endomorphisme du plan
Il existe
endomorphisme(s)
du
-espace vectoriel
tel que
et
Endomorphisme de l'espace
Il existe
endomorphisme(s)
de
vérifiant
,
et
Image d'un plan
Soit
l'endomorphisme de
donné par
et soit
le sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs
et
.
L'image de
par
est
.
Vous avez trouvé que l'image de
par
est . Que signifie ce résultat ?
Image d'un plan (avec paramètres)
Soit
l'endomorphisme de
donné par
Pour quelles valeurs du paramètre
l'application linéaire
n'est-elle pas un isomorphisme ?
Les réponses toujours ou jamais sont admises.
On suppose que
. Soit
le sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs
et
.
Pour quelles valeurs de
, l'image de
par
est-elle contenue dans une droite ?
Les réponses toujours ou jamais sont admises.
Vous avez répondu que l'image de
par
n'est jamais contenue dans une droite. Pourquoi ?
Vous avez répondu que l'image de
par
est toujours contenue dans une droite. Pourquoi ?
Vous avez répondu que l'image de
par
est contenue dans une droite si et seulement si
. Pour
, qu'est-ce qui est vrai parmi les affirmations suivantes?
Choisissez toujours la réponse la plus complète.
Projection vectorielle
Soient
une base de
. On considère le plan
d'équation
et la droite
engendrée par le vecteur
. Donner la matrice dans la base
de la projection vectorielle sur
parallèlement à
.
Prolongement d'un endomorphisme
On considère les vecteurs de
suivants : Il existe
endomorphisme(s) de
qui envoi(en)t
sur
,
sur
et
sur
.
Noyau, Image : QCM I
Ce QCM comporte
question
questions
. Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.
Question k :
Votre réponse :
La bonne réponse :
Noyau, Image bis : QCM I
Ce QCM comporte
question
questions
. Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.
Question k :
Votre réponse :
La bonne réponse :
Noyau, Image : QCM II
Ce QCM comporte questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.
Question k :
Votre réponse :
La bonne réponse :
Noyau, Image bis : QCM II
Ce QCM comporte questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.
Question k :
Votre réponse :
La bonne réponse :
Injectivité, surjectivité : QCM I
Ce QCM comporte
question
questions
. Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.
Question k :
Votre réponse :
r[k]
La bonne réponse :
Injectivité, surjectivité bis : QCM I
Ce QCM comporte
question
questions
. Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.
Question k :
Votre réponse :
r[k]
La bonne réponse :
Injectivité, surjectivité : QCM II
Ce QCM comporte questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.
Question k :
Votre réponse :
r[k]
La bonne réponse :
Injectivité, surjectivité bis : QCM II
Ce QCM comporte questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.
Question k :
Votre réponse :
r[k]
La bonne réponse :
Linéarité : QCM I
Ce QCM comporte
question
questions
. Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.
Question k :
Votre réponse :
La bonne réponse :
Linéarité bis : QCM I
Ce QCM comporte
question
questions
. Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.
Question k :
Votre réponse :
La bonne réponse :
Linéarité : QCM II
Ce QCM comporte
question
questions
. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.
Question k :
Votre réponse :
La bonne réponse :
Linéarité bis : QCM II
Ce QCM comporte
question
questions
. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.
Question k :
Votre réponse :
La bonne réponse :
Symétrie vectorielle
Soient
une base de
. On considère le plan
d'équation
et la droite
engendrée par le vecteur
. Donner la matrice dans la base
de la symétrie vectorielle par rapport à
parallèlement à
.
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- Description: collection d'exercices sur les applications linéaires. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
- Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, linear_algebra,linear_maps, symmetry, range_kernel, projection