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Circuits

1. Dipôles électrocinétiques et circuits linéaires

On appelle dipôle électrocinétique tout système relié à l'extérieur par deux conducteurs uniquement. Le comportement d'un dipôle est caractérisé par deux grandeurs électriques duales : la tension et le courant. La tension aux bornes d'un dipôle représente la différence de potentiel u(t) entre les deux bornes du dipôle. La tension s'exprime en Volt (V).

Le courant traversant un dipôle correspond au déplacement de charges électriques sous l'effet du champ électrique induit par la différence de potentiel aux bornes du dipôle. A tout instant le courant entrant par une borne d'un dipôle est égal au courant sortant par l'autre borne. L'intensité i(t) de ce courant mesure le débit des charges électriques qui traversent une section de conducteur :. L'intensité s'exprime en Ampère (A). Le courant électrique est une grandeur orientée. Conventionnellement le sens positif correspond au sens de déplacement des charges positives.

Il existe deux possibilités pour le choix des sens conventionnels de la tension et du courant. Selon que u et i sont de même sens ou non nous avons :

Convention générateur

Convention récepteur

En régime stationnaire, indépendant du temps, il existe une relation entre l'intensité i traversant le dipôle et la tension u entre ses bornes. Cette relation peut éventuellement faire intervenir des paramètres extérieurs (température, éclairement, champ magnétique, etc…). Cette relation peut se mettre sous la forme i = i(u) ou u = u(i). Les graphes obtenus sont appelés caractéristiques statiques :

i = i(u) : caractéristique statique courant-tension du dipôle

u = u(i) : caractéristique statique tension-courant du dipôle

Un dipôle est passif si son intensité de court-circuit et sa tension en circuit ouvert sont nulles : ses caractéristiques statiques passent par l'origine. Il est dit actif dans le cas contraire.

Puissance électrique reçue par un dipôle

Considérons un dipôle AB parcouru par un courant i_AB circulant de A vers B. Pendant un intervalle de temps dt, une charge dq = i_AB dt "entre" en A avec une énergie potentielle dE_A et "sort" en B avec une énergie dE_B :

L'énergie électrique reçue par le dipôle correspond à la différence entre l'énergie potentielle apportée en A et emportée en B :

La puissance électrocinétique instantanée reçue par le dipôle a donc pour expression :

Dans la convention récepteur la quantité p(t) = u(t) i(t) représente la puissance électrique instantanée reçue par le dipôle. Réciproquement dans la convention générateur elle représente la puissance délivrée au reste du circuit par le dipôle.

Lois de Kirchhoff

On appelle circuit ou réseau électrique un ensemble de dipôles reliés entre eux par des fils conducteurs parfaits. Un nœud est un point du circuit relié à deux dipôles ou plus. Une branche de réseau est la partie de circuit comprise entre deux nœuds. Une maille est un parcours fermé de branches passant au plus une seule fois par un nœud donné. Les deux lois de Kirchhoff permettent l'analyse des réseaux électriques.

Loi des nœuds :

En tout nœud d'un circuit, et à tout instant, la somme des courants qui arrivent est égale à la somme des courants qui sortent. Il s'agit d'une conséquence de la conservation de la charge électrique.

La loi des nœuds peut encore s'écrire sous la forme suivante : En tout nœud d'un réseau la somme algébrique des courants est nulle.

Loi des mailles :

Le long de toute maille d'un réseau électrique, à tout instant, la somme algébrique des tensions est nulle.

(V_A - V_B) + (V_B - V_C) + … + (V_N - V_A) = 0

Sources de tension et de courant

Sources de tension idéales et réelles

Un générateur de tension idéal délivre une tension indépendante du courant débité :

Cette tension est la force électromotrice (f.e.m.) du générateur.

La résistance interne d'un générateur de tension idéal est nulle, ce qui n'est généralement pas le cas pour un générateur réel. Un générateur réel est modélisé par un générateur idéal en série avec sa résistance interne. La caractéristique statique tension-courant du générateur de tension réel devient : u = e - r i. La résistance interne induit une chute de tension.

Sources de courant idéales et réelles

Un générateur de courant idéal débite un courant dont l'intensité est indépendante de la tension aux bornes du générateur :

La figure ci-dessous montre le symbole d'une source de courant idéale et sa caractéristique courant-tension.

La résistance interne d'une source de courant idéale est infinie. Pour un générateur réel on tient compte de sa résistance interne, en le modélisant par une source idéale de courant en parallèle avec sa résistance interne r. La caractéristique statique courant-tension du générateur de courant réel devient : .

Théorèmes de Thévenin et de Norton

Théorème de Thévenin

Un réseau linéaire, ne comprenant que des sources indépendantes de tension, de courant et des résistances, pris entre deux bornes se comporte comme un générateur de tension E₀ en série avec une résistance R₀. La f.e.m. E₀ du générateur équivalent est égale à la tension existant entre les deux bornes considérées lorsque le réseau est en circuit ouvert. La résistance R₀ est celle du circuit vu des deux bornes lorsque toutes les sources sont éteintes.

Théorème de Norton

De même on peut remplacer tout réseau linéaire, pris entre deux de ses bornes par une source de courant I₀ en parallèle avec une résistance R₀. L'intensité I₀ est égale au courant de court-circuit, les deux bornes étant reliées par un conducteur parfait. La résistance R₀ est celle du circuit vu des deux bornes lorsque toutes les sources sont éteintes.

Equivalence entre représentations de Thévenin et Norton

L'application respective des théorèmes de Thévenin et Norton permet de montrer l'équivalence de deux circuits suivants :

avec : E₀ = R₀ I₀

Théorème de Millman

Considérons le circuit suivant :

Pour chacune des branches nous pouvons écrire :

Soit encore :

En sommant ces relations il vient :

Or nous avons : i₁ + i₂ + i₃ = 0, donc :

Ce résultat se généralise à un nombre quelconque de branches :

La tension au nœud est la moyenne des tensions aux bornes de tous les dipôles pondérée par les conductances respectives.

2. Circuits en régime transitoire

2.1 Composants de stockage d'énergie

Condensateur

Un condensateur est un dipôle qui emmagasine une charge électrique q proportionnelle à la tension qui lui est appliquée :

la charge q étant portée par l'armature A.

Le coefficient de proportionnalité C est appelé capacité du condensateur. L'unité est le Farad noté F. D'autre part la variation par unité de temps de la charge q est égale à l'intensité du courant traversant le condensateur :

La charge et donc la tension d'un condensateur ne peuvent pas varier de manière infiniment rapide. La charge et la tension d'un condensateur sont donc toujours des fonctions continues par rapport au temps. Cette caractéristique est utile pour la détermination de conditions initiales.

La puissance instantanée reçue par un condensateur peut s'écrire :

Calculons l'énergie reçue par le condensateur pendant un intervalle de temps t :

Si nous supposons que le condensateur est initialement déchargé, nous trouvons l'expression de l'énergie électrostatique stockée dans un condensateur en fonction de la charge portée :

Exercice : Montrer que la capacité C équivalente à l'association en série de n condensateurs de capacités C _{k = 1…n} est telle que . Traiter le cas d'une association en parallèle.

Auto-inductance ou self

Dans une bobine ou auto-inductance le flux instantané est proportionnel au courant parcourant celle-ci : F = L i. Le coefficient L est appelé coefficient d'auto-induction du circuit. Il s'exprime en Henry (H). Lorsque le courant varie, il apparaît dans la self une f.c.e.m. (qui s'oppose à la variation du courant) :

La figure suivante montre le symbole que nous utilisons pour une self et sa modélisation en convention récepteur :

A cette modélisation correspond l'équation :

L'intensité traversant une bobine ne peut pas varier de manière infiniment rapide. L'intensité dans une bobine est donc une fonction continue du temps. Cette caractéristique est utile pour la détermination de conditions initiales.

La puissance instantanée reçue par une self s'écrit :

En intégrant sur un intervalle de temps t, nous trouvons l'expression de l'énergie électromagnétique stockée dans une bobine :

Exercice : Traiter les associations série et parallèle de selfs L_k.

2.2. Charge d'un condensateur au travers d'une résistance

Considérons le circuit schématisé sur la figure ci-dessous. A l'instant t = 0 nous fermons l'interrupteur. Nous supposons qu'à cet instant la charge initiale du condensateur est nulle : q(t=0) = 0.

A tout instant t > 0 nous pouvons écrire :

avec la relation entre la charge et l'intensité :

Nous obtenons donc l'équation différentielle suivante :

Toute solution de cette équation différentielle du premier ordre peut s'écrire comme la superposition d'une solution particulière de l'équation complète et de la solution générale de l'équation sans second membre.

Comme solution particulière de l'équation complète, nous pouvons considérer le régime stationnaire (indépendant du temps) :

Résolvons l'équation différentielle sans second membre :

La solution générale s'écrit donc :

Cherchons la solution vérifiant la condition initiale :

Nous avons donc :

Les figures suivantes donnent l'allure de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur et de l'intensité.

2.3. Etablissement d'un courant à travers une bobine

Considérons le circuit présenté sur la figure suivante :

Nous supposons qu'initialement l'interrupteur est ouvert et qu'aucun courant ne circule : i(t=0) = 0. A l'instant t = 0 nous fermons l'interrupteur. Pour t > 0 nous pouvons écrire :

Ce qui nous donne l'équation différentielle :

Nous retrouvons une équation différentielle du premier ordre, dont la solution générale de l'équation sans second membre s'écrit :

Comme solution particulière de l'équation complète nous pouvons chercher le régime stationnaire, soit :

Ce qui nous donne pour la solution complète :

La constante k est définie par la condition initiale :

k = - V₀ / R

Ce qui nous donne :

2.4. Décharge d'un condensateur à travers une bobine et une résistance

Nous considérons le circuit RLC suivant :

Nous supposons qu'initialement le condensateur est chargé et qu'il ne circule aucun courant (interrupteur ouvert) : q(t=0) = q₀ et i(t=0) = 0.

Avec notre choix d'orientation du sens positif pour le courant, nous avons :

Ce qui nous donne l'équation différentielle suivante :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre. Pour résoudre cette équation il faut chercher les racines de l'équation caractéristique associée :

Celle-ci a pour discriminant :

Les solutions de l'équation différentielle sont différentes selon le nombre et le type des racines de l'équation caractéristique.

En posant (appelé coefficient d'amortissement) et (pulsation propre)

1^er cas : l = w₀(Régime critique)

L'équation caractéristique admet une racine double réelle :

p_{+ -}= - l

L'équation différentielle admet alors pour solution :

q(t) = (A + B t) e ^-^{l t}

Ce qui nous donne pour l'intensité :

Les constantes A et B sont définies par les conditions initiales :

Nous obtenons donc pour la solution globale :

Les figures illustrent l'allure de l'évolution temporelle de la charge du condensateur et de l'intensité au travers de la self. L'intensité est maximale pour t = t = 1/l.

2^ème cas : D > 0

L'équation caractéristique a alors deux racines réelles distinctes :

Ces deux racines sont négatives.

Les solutions de l'équation différentielle se mettent alors sous la forme :

Ce qui nous donne pour l'intensité :

Les paramètres A et B sont définis par les conditions initiales :

q(t=0) = A + B = q₀

i(t=0) = A p₊ + B p_- = 0

Ce qui nous donne :

3^ème cas : D < 0

L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées :

La solution générale de l'équation différentielle s'écrit alors :

Ce qui nous donne pour l'intensité :

Les constantes A et j sont déterminées par les conditions initiales :

Ce qui nous donne :

Soit en reportant dans les expressions de la charge q et du courant i :

3. Circuits en régime permanent sinusoïdal, filtres

3.1. Grandeurs caractéristiques des signaux périodiques

Une grandeur physique (courant, tension, etc.) est dite périodique si elle reprend identiquement la même valeur à intervalles de temps égaux.

Période T : temps minimal nécessaire pour retrouver la même valeur de la fonction.

Fréquence F : inverse de la période.

Valeur instantanée i ou i(t) : la fonction elle-même.

Valeur maximale I : amplitude ou valeur de crête (une valeur instantanée particulière)

Valeur moyenne I₀ :

Valeur efficace I_eff :

Si nous comparons à l'énergie dissipée par effet Joule dans une résistance pendant une période :

nous observons que la valeur efficace d'un courant périodique est l'intensité d'un courant continu qui fournirait dans une résistance le même effet Joule pendant une période.

Régime permanent sinusoïdal (A.C.)

On parle de régime permanent sinusoïdal lorsque l'évolution temporelle des signaux correspond à des sinusoïdes. La forme générale d'un signal sinusoïdal est donc :

Rappelons quelques définitions : Phase instantanée :

Phase à l'origine ou déphasage :

Pulsation :

Période :

Fréquence :

Calculons les valeurs moyenne et efficace :

3.2. Impédance électrique

On appelle impédance d'un dipôle linéaire passif (résistance, capacité ou self) la grandeur complexe Z(jw) qui relie dans la représentation complexe la différence de potentiel au courant :

Avec les notations suivantes pour l'impédance complexe :

et son inverse :

• La partie réelle R de l'impédance est appelée résistance.

• La partie imaginaire X de l'impédance est appelée réactance.

• La grandeur |Z| est appelée module de l'impédance.

• La grandeur j représente le déphasage de l'intensité i(t) par rapport à la tension u(t).

• La grandeur Q = |X|/R est appelée facteur de qualité du dipôle.

• La grandeur Y = 1/Z est appelée admittance du dipôle.

• La partie réelle G de l'admittance est appelée conductance.

• La partie imaginaire B de l'admittance est appelée susceptance.

Considérons l'impédance des trois dipôles de base.

Résistance pure :

En notation complexe :

Donc :

Condensateur parfait :

En notation complexe :

Donc :

Inductance pure :

En notation complexe :

Donc :

Associations d'impédances

Considérons un circuit RLC soumis à une excitation sinusoïdale v(t) = V sin wt. Etudions le courant i(t), lorsque le régime permanent est atteint :

Nous pouvons écrire la tension aux bornes du générateur et aux bornes des trois dipôles en série :

Ce qui nous donne comme équation différentielle :

La solution d'une telle équation est la superposition d'une solution de l'équation sans second membre (le régime transitoire) et d'une solution particulière de l'équation complète (le régime permanent).

Sauf pour R = 0 les solutions de l'équation sans second membre tendent toutes rapidement vers un courant nul.

Comme v(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation w, on peut choisir une solution particulière de l'équation complète de la forme : . Nous pouvons résoudre l'équation différentielle en utilisant la notation complexe :

L'équation devient :

Soit :

avec

L'impédance peut être notée :

où X(jw) est la réactance du circuit. Notons Z le module de l'impédance :

Nous pouvons réécrire la relation entre la tension et l'intensité sous la forme :

Multiplions chacun des deux membres par son conjugué, nous obtenons :

Ce qui nous permet d'écrire pour l'amplitude de l'intensité :

D'autre part, pour déterminer le déphasage de l'intensité par rapport à la source de tension, nous avons :

Donc :

Remarquons que cos j ≥ 0 donc -p/2 £ j £ p/2.

L'impédance du circuit RLC varie avec la pulsation. Elle est minimale pour la pulsation propre du circuit :

L'intensité est alors en phase avec la source de tension. La courbe ci-dessous montre la variation de l'amplitude de l'intensité (ou sa valeur efficace) pour une tension donnée en fonction de la pulsation de la source. Nous avons un phénomène de résonance à w₀.

Calculons pour quelle pulsation nous avons :

c'est-à-dire

Il nous faut résoudre :

Cette équation a pour discriminant :

Les solutions sont donc de la forme :

Nous ne conservons que les solutions positives, c'est-à-dire :

On définit le facteur de qualité du circuit RLC comme :

Ce facteur de qualité caractérise la largeur de la résonance. Celle-ci est d'autant plus étroite que le facteur de qualité est grand. En reportant les expressions des trois pulsations nous obtenons pour le facteur de qualité :

Notation complexe et lois de base

Grâce à la notation complexe toutes les lois de base (nœuds, mailles, association en série, association en parallèle, superposition, Norton, Thévenin, Millman, etc.) qui ont été obtenues pour les réseaux de résistances en régime continu restent valables en régime permanent sinusoïdal, les impédances jouant le rôle des résistances. C'est-à-dire qu'il est possible d'écrire les équations régissant l'étude d'un circuit sans passer par les équations différentielles.

Reprenons l'exemple précédent. Remplaçons chaque dipôle par son impédance, nous pouvons modéliser le circuit comme indiqué sur la figure ci-dessous. En procédant à partir de ce schéma comme nous savons le faire en régime continu, nous pouvons écrire :

Nous retrouvons la même relation que dans le paragraphe précédent :

Puissance en régime sinusoïdal

Puissance moyenne

Nous avons vu qu'en convention récepteur la puissance reçue par un dipôle s'écrit :

En régime sinusoïdal, la tension et l'intensité sont des fonctions sinusoïdales de même pulsation. Notons j le déphasage de la tension par rapport à l'intensité. Un choix de l'origine des temps nous permet donc d'écrire :

Calculons la puissance instantanée :

La puissance instantanée apparaît donc comme la somme d'un terme constant et d'une fonction sinusoïdale de fréquence double. Le terme constant est la puissance moyenne reçue par le dipôle sur une période :

Cette quantité est également appelée puissance active.

Précédemment, nous avons calculé la valeur efficace d'une fonction sinusoïdale. En utilisant ce résultat nous avons pour la tension et l'intensité :

Nous pouvons donc réécrire la puissance active sous la forme :

Ce qu'on écrit encore sous la forme du produit de la puissance apparente S et du facteur de puissance l :

avec :

Puissance complexe

La puissance instantanée n'étant pas une fonction sinusoïdale sa représentation complexe n'est pas autorisée. Nous introduisons toutefois une puissance complexe définie par :

Cet abus nous permet de retrouver la puissance active et la puissance apparente. On note généralement P et Q les parties réelle et imaginaire de la puissance complexe :

avec :

Adaptation d'impédance

Considérons une source de tension sinusoïdale réelle modélisée par sa f.e.m. e(t) et son impédance interne Z₀. Ce générateur est connectée à une charge d'impédance Z_c. Quelle doit être cette impédance pour que la puissance reçue par cette charge soit maximale ?